Система лінійних рівнянь алгебри – це сукупність кількох рівнянь, які містять одні й самі змінні. Виникає природне питання: чи можна знайти такі значення змінних, за яких усі рівняння системи виконуватимуться одночасно? Іншими словами, як встановити, що система лінійних рівнянь алгебри спільна? Це важливе поняття відноситься до розділу лінійної алгебри і знаходить застосування у багатьох галузях математики та науки.
Система лінійних рівнянь алгебри спільнаякщо існує хоча б одне рішення цієї системи. Іншими словами, є такі значення змінних, які задовольняють усі рівняння системи. Однак іноді знайти ці значення буває не так просто. Щоб дізнатися, чи спільна система, необхідно застосувати деякі міркування та методи.
Один із таких методів – метод Гауса. Він дозволяє привести систему лінійних рівнянь алгебри до східчастого вигляду. Якщо результаті перетворень система приводиться до вигляду, де всі рядки матриці, утвореної коефіцієнтами при змінних, містять нулі праворуч від провідного елемента, система буде спільної. У цьому випадку можна використати зворотний хід методу Гауса, щоб знайти рішення системи та визначити значення змінних.
| Крок | Дія | Пояснення |
|---|---|---|
| 1 | Скласти розширену матрицю системи | Розширена матриця системи виходить шляхом додавання до матриці коефіцієнтів системи шпальти вільних членів |
| 2 | Привести розширену матрицю до східчастого вигляду | Приведення матриці до ступінчастого вигляду дозволяє виявити лінійно залежні або лінійно незалежні рівняння системи |
| 3 | Дослідити ступінчасту матрицю | Аналіз ступінчастої матриці дозволяє визначити кількість вільних невідомих та кількість певних невідомих |
| 4 | Перевірити умову нульового стовпця | Якщо в ступінчастій матриці системи присутній нульовий стовпець, то система має безліч рішень |
| 5 | Підставити знайдені значення невідомих | Якщо система спільна і має певне рішення, то знайдені значення невідомих повинні задовольняти всі рівняння системи |
Як довести спільність слау?
Для спільності СЛАУ Ax = b необхідно і достатньо, щоб ранг її матриці A дорівнював рангу її розширеної матриці (A|b). ◄ Необхідність. Зазначимо, що ранг матриці A СЛАУ Ax = b не перевищує рангу розширеної матриці (A|b).
Як дізнатися чи є система спільною?
Кількість основних змінних системи дорівнює рангу системи. Спільна система буде визначена (її рішення єдине), якщо ранг системи дорівнює числу всіх її змінних.
У якому разі слау немає рішення?
Якщо ранг матриці менший за ранг розширеної матриці і дорівнює числу невідомих, то система не має рішення.
